Kas matemaatika aitab loteriil võita?

Hispaania Graneni küla elanikud võitsid Big Bashi loteriil 720 miljonit eurot. Kuidas nad seda tegid? Ilmselt tundsid hästi matemaatikat!

Igaüks, kes ostab loteriipileti, tahab võita. Teoreetiliselt on mistahes numbrite genereerimise tõenäosus rangelt ühtlane. Selle põhjal tuleb loterii võitmise tõenäosuse arvutamiseks arvutada kõikvõimalikke kombinatsioonide arvu. See on loterii matemaatiline põhjendus.

Arvutused „kuus 49st“ näitel

Loteriis 6/49 valitakse 6 palli 49 võimalikust ja kui piletil on kuus numbrit võidunumbritega kokku langenud, oletegi jackpot'i saaja. Seejuures on ükskõik, millises järjekorras numbrid kokku langesid. Sellise sündmuse tõenäosus on 1/13,983,816 (peaaegu 1/14 miljonit).

Seda saab näidata järgmiselt: alustame 49 palliga loteriitrumlis, millest igaühel on kordumatu number. Seega on selge, et esimese palli äraarvamise tõenäosus on 1/49. Kui teise palli aeg saabub, on trumlisse jäänud 48 palli, seega on teise numbri äraarvamise tõenäosus 1/48.

Kolmandat palli valides on alles vaid 47 palli, sellest tulenevalt on tõenäosus ära arvata kolm esimest numbrit 1/ 49 × 48 × 47. Jätkates jõuame kuue pallini, lõpuks saame 1/ 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44, mida saab kirjutada valemina nagu 49! / (49-6)!, kus arvu n! = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) .. * 1 nimetatakse arvu n faktoriaaliks. Korrutades saame 10 068 347 520 (10 miljardit), mis on palju rohkem kui varem lubatud 14 miljonit.

Numbrite järjekord ebaoluline

Selle arusaamiseks peate mõistma, et kuue numbri valimise järjekord on täiesti ebaoluline. St kui piletil on numbrid 1, 2, 3, 4, 5 ja 6, on see võit, olenemata sellest, millises järjekorras kõik kuus numbrit genereeriti.

Vastavalt sellele võib iga kuuenumbrilise komplekti esitada 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6! faktoriaalina või 720 samade kuue numbri erinevat kombinatsiooni. S.t peame jagama saadud 10 miljardit nende 720 kombinatsiooniga, s.t 10 068 347 520 jagada 720ga ja saame 13,983,816, mida saab kirjutada valemiga 49! / (6! × (49 — 6)!) või õigel viisil:

Seda nimetatakse kombinatsioonifunktsiooniks; Microsoft Excelil on see nimega COMBIN (n, k). Näiteks, COMBIN (49, 6) annab 13 983 816. “Kombinatsioon” tähendab valitud numbrite rühma sõltumata nende valimise järjestusest.

Võidu matemaatiline ootus

Matemaatilise ootuse arvutamine on suurepärane võimalus teha kindlaks, kas panus on kasumlik. Üks matemaatik isegi kasutas korduvalt matemaatilist ootust, et võita loteriil jackpot.

See meetod aitab mängijatel kindlaks määrata võidu või kahjumi panuse puhul. Positiivne ootus tähendab, et pakkumine on kasumlik. Näiteks on Suurbritannia rahvuslikul loteriil võidu negatiivne matemaatiline ootus -0,50, mis tähendab, et teoreetiliselt kaotavad mängijad 50 penni iga panustatud naela kohta.

Loterii ootuste arvutamise valem on üsna lihtne: korrutage võidu tõenäosus summaga, mille võite võita panusega, ja lahutage kaotamise tõenäosus korrutatuna summaga, mille võite kaotada: (võidu summa x võidu tõenäosus) — (kaotuse suurus x kaotuse tõenäosus).

Aja jooksul positiivseks

Loteriide matemaatilise ootuse arvutamisel on siiski teatud eripära. See seisneb selles, et kui mingis loosimises ei võida keegi jackpotti, lisatakse summa järgmise loosimise jackpotile. Seega suureneb jackpoti summa ja teatud ajahetkel võib see jõuda väärtuseni, mille juures matemaatiline ootus on juba positiivne.

Saab kindlasti öelda, et keskmine mängija ei osta kunagi 14 miljonit loteriipiletit, kuid on olemas strateegia, kus saab kasutada positiivset matemaatilist ootust — need on niinimetatud loteriisündikaadid (pools). Siim on kõik lihtne — ühendate jõud teiste mängijatega, leppides eelnevalt kokku võitude jaotamise. Seega suurendate võitmise tõenäosust, kuid ka summa on väiksem.

Sellise lähenemisviisi näide on juhtum, kui Huesca provintsis asuva Hispaania Graneni küla elanikud liitusid ja võitsid Grand Prix loterii auhinna. Iga elanik, kes maksis pileti eest umbes 20 eurot, sai umbes 400 tuhat eurot. Kokku jagas omavahel raha 1800 hispaanlast.

Tallinna Ülikoolis on võimalik uurida loteriide analüüsimiseks ja eduka võtmisstrateegia arendamiseks vajaliku tõenäosuse ja statistika teooria põhialuseid bakalauresuse õppiprogrammis Matemaatika, majandusmatemaatika ja andmeanalüüs.

Rohkem infot leiad SIIT!

Edukat loteriimängu!